應該由誰來執行監視居住人民檢察院核實犯罪嫌疑人住處或者為其指定居所后，應當制作監視居住執行通知書，將有關法律文書和有關案由、犯罪嫌疑人基本情況的材料，送交犯罪嫌疑人住處或者居所地的同級公安機關執行。人民檢察院可以協助公安機關執行。公安機關收到有關法律文書和材料后，應當立即交由犯罪嫌疑人住處或者居所地的縣級公安機關執行。負責執行的縣級公安機關應當在二十四小時以內，核實被監視居住人的身份和住處或者居所，報告縣級公安機關負責人后，通知被監視居住人住處或者居所地的派出所執行。負責執行監視居住的派出所應當指定專人對被監視居住人進行監督考察，并及時將監視居住的執行情況報告所屬縣級公安機關通知決定監視居住的人民檢察院。人民檢察院決定對犯罪嫌疑人監視居住的案件，在執行期間，犯罪嫌疑人有正當理由需要離開住處或者指定居所的，負責執行的派出所應當及時報告所屬縣級公安機關，由該縣級公安機關征得決定監視居住的人民檢察院同意后予以批準。人民檢察院決定對犯罪嫌疑人監視居住的案件，犯罪嫌疑人違反應當遵守的規定的，執行監視居住的派出所應當及時報告縣級公安機關通知決定監視居住的人民檢察院。情節嚴重的，人民檢察院應當決定予以逮捕，通知公安機關執行。人民檢察院決定對犯罪嫌疑人監視居住的案件，監視居住期限屆滿十五日前，負責執行的縣級公安機關應當通知決定監視居住的人民檢察院。人民檢察院應當在監視居住期限屆滿前，作出解除監視居住或者變更強制措施的決定，并通知公安機關執行。公安機關決定對犯罪嫌疑人監視居住的案件，犯罪嫌疑人違反應當遵守的規定，情節嚴重的，公安機關應當依法提請批準逮捕。人民檢察院應當根據刑事訴訟法第五十七條的規定審查批準逮捕。二、哪些情形可以監視居住人民法院、人民檢察院和公安機關對于有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以監視居住：(一)可能判處管制、拘役或者獨立適用附加刑的;(二)可能判處有期徒刑以上刑罰，采取取保候審、監視居住不致發生社會危險性的。人民法院、人民檢察院和公安機關對犯罪嫌疑人、被告人監視居住最長不得超過六個月《最高人民檢察院、公安部關于適用刑事強制措施有關問題的規定》規定，人民檢察院決定對犯罪嫌疑人采取監視居住措施的，應當核實犯罪嫌疑人的住處。犯罪嫌疑人沒有固定住處的，人民檢察院應當為其指定居所。在符合監視居住的條件時，需要先做出監視居住的決定，之后才是依法采取監視居住措施，這就涉及到具體執行的問題了。根據我國《刑事訴訟法》中的規定，公安機關、人民檢察院以及人民法院都是有權決定采取監視居住，但具體到執行的時候，一般就是由公安機關來執行。